WISKUNDE “MONSTERS”

Onverwachts werden dezelfde conclusies van een heel andere kant bereikt – er werden objecten ontdekt die negentiende-eeuwse wiskundigen ondergedompeld hadden. geschokt en “wiskundige monsters” genoemd. Deze ontdekking houdt rechtstreeks verband met zeer delicate vragen van wiskundige analyse die pas in het midden van de 19e eeuw aan de orde kwamen. Er ontstonden moeilijkheden bij het zoeken naar een exacte wiskundige analoog aan het experimentele concept van een curve. Wat de essentie was van het concept van ‘continue beweging’ (bijvoorbeeld de punt van een tekenpen die op een vel papier beweegt), werd onderworpen aan een precieze wiskundige definitie, en dit doel werd bereikt toen het concept van continuïteit een rigoureuze wiskundige betekenis kreeg (zie ook CURVE). Intuïtief leek het erop dat de “curve” op elk van zijn punten een soort richting heeft, d.w.z. in het algemeen gedraagt ​​de curve zich in de buurt van elk van zijn punten op bijna dezelfde manier als een rechte lijn. (Aan de andere kant is het gemakkelijk voor te stellen dat een kromme een eindig aantal hoekpunten heeft, ‘knikken’, zoals een veelhoek.) Deze eis zou wiskundig kunnen worden geformuleerd, namelijk het bestaan ​​van een raaklijn aan de kromme en tot het midden van de 19e eeuw. Men geloofde dat de “kromme” op bijna al zijn punten een raaklijn heeft, misschien met uitzondering van enkele “enkelvoudige” punten. Daarom veroorzaakte de ontdekking van “curven” die op geen enkel punt een raaklijn hadden, een echt schandaal (zie ook FUNCTIETHEORIE). (Een lezer die bekend is met trigonometrie en analytische geometrie kan gemakkelijk controleren of de curve gegeven door de vergelijking y = x sin (1 / x) geen raaklijn heeft aan de oorsprong, maar het definiëren van een curve die geen raaklijn heeft op een van de punten is significant moeilijker.)

Iets later werd een veel “pathologischer” resultaat verkregen: er werd een voorbeeld geconstrueerd van een curve die het vierkant volledig vult. Sindsdien zijn honderden van dergelijke ‘monsters’ uitgevonden, in tegenstelling tot ‘gezond verstand’. Benadrukt moet worden dat het bestaan ​​van dergelijke ongebruikelijke wiskundige objecten even strikt en logisch foutloos uit de basisaxioma’s volgt als het bestaan ​​van een driehoek of een ellips. Omdat wiskundige ‘monsters’ niet kunnen corresponderen met enig experimenteel object, en de enige mogelijke conclusie is dat de wereld van wiskundige ‘ideeën’ veel rijker en ongebruikelijker is dan je zou verwachten, en slechts weinigen van hen hebben overeenkomsten in de wereld van onze gewaarwordingen. Maar als wiskundige ‘monsters’ logischerwijs volgen uit axioma’s, kunnen de axioma’s dan nog steeds als waar worden beschouwd?

rubiks kubus kopen